ヘルマン・ワイル

伝記

ヘルマン・クラウス・フーゴー・ワイルは、1885年11月9日にドイツのハンブルク近郊のエルムスホルンに生まれた数学者、理論物理学者である。数論を含む純粋数学と理論物理学の両方で顕著な業績を残し、20世紀で最も影響力のある数学者の一人とされる。1904年から1908年まで、ゲッティンゲン大学とミュンヘン大学の両方で数学と物理学を学んだ。ゲッティンゲンでは、敬愛するダフィット・ヒルベルトの指導のもとで学位を得ている。数年間大学で教えたのち、スイス連邦工科大学の数学のポストを得て、一般相対性理論を研究していたアルベルト・アインシュタインの同僚となった。アインシュタインは、のちに数理物理学で業績を残すワイルに大きな影響を与えたとされる。1921年には、教授としてチューリッヒ大学に移ったエルヴィン・シュレーディンガーに会い、二人はその後も親しく交際した。

1913年に論文「リーマン面のアイデア」を発表し、リーマン面の理論を厳密にするため一般トポロジーの概念を用いて、その後の多様体の研究に影響を与えた。1918年には、一般相対性理論の発展を追った著書『空間・時間・物質』を著し、広く読まれて、1922年には第4版が出た。同じ年にゲージの概念を導入し、現在ゲージ理論として知られるものの最初の例を示した。これは電磁場と重力場を時空の幾何学的性質としてモデル化しようとしたものだったが、成功しなかった。リーマン幾何学におけるワイル・テンソルは共形幾何学の基礎となり、1929年には一般相対性理論に四脚場の概念を導入した。1923年から1938年にかけては、行列表現に関するコンパクト群の理論を築き、重要なワイルの指標公式を証明した。これらの結果は、群論に基づく量子力学の対称な構造の理解に重要で、スピノルもその中に含まれる。ワイルの研究以降、リー群とリー代数は純粋数学と理論物理学の双方で主流となった。著書『古典群』は後の研究に大きな影響を与え、不変式論を再考している。さらに、ディオファントス近似の一様分布の基準とともに指数和の用い方を示し、解析的整数論の重要な一歩となった。

数学の基礎については、著書『連続体論』でバートランド・ラッセルの型理論を用いた論理を構築し、古典的な代数学の大部分を、排中律や背理法、カントールの無限集合を使わずに組み立てることに成功した。その後はブラウワーの直観主義に立場を移し、ブラウワーとともに論文「我々は革命である」を発表して、直観主義の見方を広めた。しかし数年のうちに、批判者の言うように直観主義が数学に多くの制約を課すと考えるようになり、1920年代には自身の立場を、師ヒルベルトの考え方と部分的に調和させていった。1928年頃からは、直観主義はフッサールの現象学への情熱と相容れないと考えた。

1930年、ヒルベルトの後継者となるためゲッティンゲンに戻ったが、妻がユダヤ系であったため、ナチスの力が強まると1933年にプリンストン高等研究所に移り、1951年に退職するまで在籍した。その後は妻とともにプリンストンとチューリッヒで過ごし、1955年12月8日にチューリッヒで亡くなった。